Учебный модуль

Математика

Материал собран по программе вступительного экзамена: ключевые математические понятия, основные положения алгебры и геометрии, а также требования к подготовке абитуриента.

Источник: программа вступительных испытаний по математике.

1. Основные понятия

Основные формулы

|a| — модуль числа
a^n = a · a · ... · a
√a — арифметический корень
a% = a/100
a_n = a₁ + (n - 1)d
b_n = b₁q^(n - 1)

Натуральные числа и делимость

Определение: натуральные числа используются для счета, а делимость показывает, можно ли одно число разделить на другое без остатка.

Пример: при раздаче 24 тетрадей по 6 штук в группу число 24 делится на 6 без остатка.

Простые и составные числа

Определение: простое число имеет только два делителя, а составное больше двух.

Пример: 13 делится только на 1 и 13, а 12 еще делится на 2, 3, 4 и 6.

Рациональные и действительные числа

Определение: рациональные числа можно представить дробью, а действительные включают все числа числовой прямой.

Пример: 0,5 равно 1/2 и является рациональным числом, а длина 2,7 м записывается действительным числом.

Модуль числа

Определение: модуль показывает расстояние от числа до нуля без учета знака.

Пример: модуль -9 равен 9, как и расстояние в 9 шагов остается 9 независимо от направления.

Функция

Определение: функция задает зависимость, в которой каждому значению аргумента соответствует одно значение результата, например y = 2x + 3.

Пример: стоимость поездки может считаться по формуле y = 50x + 120, где x — число километров, а 120 — фиксированная плата.

Уравнение и неравенство

Определение: уравнение выражает равенство с неизвестным, например 2x + 5 = 17, а неравенство задает отношение больше или меньше, например x < 10.

Пример: чтобы найти неизвестную цену, составляют уравнение. Чтобы проверить, укладывается ли расход в бюджет 5000 рублей, можно записать неравенство x + 1200 ≤ 5000.

Прогрессия

Определение: это последовательность чисел, которая строится по определенному правилу, например a_n = a_1 + (n - 1)d для арифметической прогрессии.

Пример: ежегодное увеличение выплаты на 3000 рублей образует арифметическую прогрессию: a_1 = 20000, d = 3000, поэтому a_3 = 26000.

Вектор

Определение: направленный отрезок, имеющий длину и направление.

Пример: перемещение объекта по складу можно задать вектором от точки отправления к точке прибытия.

2. Алгебра

Основные формулы

y = kx + b
ax² + bx + c = 0
D = b² - 4ac
x = (-b ± √D)/(2a)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a - b)² = a² - 2ab + b²
a² - b² = (a - b)(a + b)
(x^n)' = nx^(n - 1)

Линейная функция

Определение: функция вида y = kx + b, графиком которой служит прямая.

Пример: тариф с фиксированной платой и доплатой за единицу услуги описывается линейной функцией.

Квадратное уравнение и теорема Виета

Определение: квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, а теорема Виета связывает его корни с коэффициентами: x₁ + x₂ = -b/a, x₁x₂ = c/a.

Пример: для уравнения x² - 5x + 6 = 0 сумма корней равна 5, а произведение 6, поэтому корни — 2 и 3.

Степень, корень, логарифм

Определение: степень показывает повторное умножение, например a³ = a·a·a, корень ищет число по его степени, например √49 = 7, а логарифм определяет показатель степени, например log₂8 = 3.

Пример: площадь квадрата выражается как S = a², а обратный расчет стороны идет через формулу a = √S.

Показательная и логарифмическая функции

Определение: в показательной функции переменная находится в показателе степени, например y = 2ˣ, а логарифмическая функция y = log₂x является обратной к ней.

Пример: рост вклада по схеме S = S₀(1 + p)ⁿ напоминает показательную зависимость, а при поиске числа периодов используют логарифм.

Тригонометрические функции

Определение: синус, косинус, тангенс и котангенс описывают зависимости, связанные с углами и периодичностью.

Пример: колебательные процессы и вращение удобно описывать с помощью синуса и косинуса.

Производная

Определение: производная показывает скорость изменения функции и помогает исследовать ее поведение.

Пример: по производной можно понять, в какой момент показатель растет, убывает или достигает экстремума.

3. Геометрия

Основные формулы

c² = a² + b²
S_прям = ab
S_треуг = (1/2)ah
S_круга = πR²
L = 2πR
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
V_прям. пар. = abc

Треугольник

Определение: фигура из трех сторон, для которой изучают свойства углов, сторон, медиан, биссектрис и высот.

Пример: каркасные конструкции часто делают треугольными, потому что такая форма устойчива.

Подобие фигур

Определение: фигуры подобны, если имеют одинаковую форму и отличаются только масштабом.

Пример: план комнаты и сама комната подобны, если пропорции сохранены.

Окружность и касательная

Определение: окружность задает множество точек на одинаковом расстоянии от центра, а касательная имеет с ней одну общую точку.

Пример: колесо касается дороги в одной точке, что напоминает положение касательной к окружности.

Параллельность и перпендикулярность

Определение: параллельные объекты не пересекаются, а перпендикулярные образуют прямой угол.

Пример: стены комнаты могут быть перпендикулярны полу, а рельсы служат примером параллельных прямых.

Координаты и расстояние

Определение: координаты задают положение точки, а расстояние между точками на плоскости вычисляют по формуле d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²).

Пример: если стеллажи расположены в точках (1, 2) и (4, 6), то расстояние между ними равно √25 = 5.

Многогранники и тела вращения

Определение: к многогранникам относятся куб, призма и пирамида, а к телам вращения цилиндр, конус и шар.

Пример: коробку можно моделировать как прямоугольный параллелепипед, а банку как цилиндр.

4. Требования и навыки

  • Выполнять вычисления без калькулятора и преобразовывать буквенные выражения.
  • Решать уравнения, неравенства, системы и исследовать их решения.
  • Исследовать функции и строить их графики.
  • Работать с векторами, единицами измерения, длинами, площадями и объемами.
  • Изображать геометрические фигуры, выполнять дополнительные построения и строить сечения.
  • Логично, полно и последовательно оформлять решение.

Пример задачи 1. Решить уравнение 2x + 7 = 19.

Решение: переносим 7 вправо: 2x = 12. Делим на 2: x = 6.

Ответ: x = 6.

Пример задачи 2. Найти расстояние между точками A(0, 0) и B(3, 4).

Решение: используем формулу d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²). Получаем d = √(3² + 4²) = √25 = 5.

Ответ: 5.

Пример задачи 3. Найти третий член арифметической прогрессии, если a₁ = 4, d = 3.

Решение: применяем формулу a_n = a₁ + (n - 1)d. Тогда a₃ = 4 + 2·3 = 10.

Ответ: 10.

Мини-тест

1. Что изучает производная функции?

  1. Только значение функции при нуле
  2. Скорость изменения функции
  3. Площадь фигуры
  4. Количество корней уравнения

2. Какая фигура относится к телам вращения?

  1. Призма
  2. Пирамида
  3. Цилиндр
  4. Параллелограмм

3. Что означает подобие фигур?

  1. Одинаковую площадь
  2. Одинаковую форму при возможном различии размеров
  3. Одинаковое число углов
  4. Равенство всех сторон

4. Что задает функция?

  1. Случайный набор чисел
  2. Зависимость между величинами
  3. Только график
  4. Только уравнение

5. Что должен уметь абитуриент по программе?

  1. Только пересказывать формулы
  2. Только строить чертежи
  3. Решать задачи и логично оформлять решения
  4. Только переводить единицы

Ответы

1. B. Производная показывает скорость изменения функции и используется при исследовании роста, убывания и экстремумов.

2. C. Цилиндр прямо относится к телам вращения.

3. B. Подобные фигуры сохраняют форму, но могут отличаться масштабом.

4. B. Функция описывает зависимость одной величины от другой.

5. C. В требованиях указаны не только знания, но и умение решать задачи и последовательно оформлять ответ.